从江西师范大学毕业后，刘小奇曾在鹰潭市第一中学担任教师一年。2005年10月，他进入抚州市教育局工作，历任办公室副主任、人事科科长、办公室（党委办）主任等职，并于2018年2月出任抚州市教育局党委委员、副局长。

刘小奇，男，汉族，1982年11月出生，江西南城人，2004年7月参加工作，2002年4月加入中国共产党，本科学历，文学学士。

环球体育4月1日，江西省纪委省监委网站通报称，抚州市委教育体育工委书记、市教育体育局局长、南昌大学抚州医学院党委书记刘小奇涉嫌严重违纪违法，主动向组织交代问题，目前正接受抚州市纪委市监委纪律审查和监察调查。

公开资料显示，吴建发，男，汉族，1962年10月出生，江西抚州人。他于2012年任抚州市教育局党委副书记、局长，2019年任抚州市委教育体育工委书记、市教育体育局局长。

2023年10月30日，江西省纪委监委发布消息：江西省抚州市政协原副主席吴建发涉嫌严重违纪违法，主动投案，目前正接受江西省纪委监委纪律审查和监察调查。

机构改革后，刘小奇于2019年3月起继续担任抚州市教育体育局工委委员、副局长。2021年10月，他获任抚州市委教育体育工委书记，并于两个月后担任市教育体育局局长。至迟于2023年8月，刘小奇兼任南昌大学抚州医学院党委书记职务。